CHAPITRE 7 : LA NORME IEEE 754

Avant 1985, chaque constructeur avait son propre format flottant. Un même programme donnait des résultats différents selon la machine, et porter du code scientifique relevait de l'artisanat. La norme IEEE 754 a mis fin à ce désordre. Elle est aujourd'hui gravée dans tous les processeurs, et c'est elle que décrivent les types float et double.

Le découpage du mot

La norme reprend tout ce que nous avons construit au chapitre 6 : un bit de signe, un exposant biaisé, une mantisse normalisée à bit implicite. Elle fixe simplement la taille de chaque champ.

La formule de lecture est toujours la même :

valeur = (−1)^S × 1,M × 2^{(Eb − biais)}

Coder un nombre, en quatre étapes

La méthode ne change jamais. Prenons 35,5 en simple précision.

Etape 1 : le signe
   35,5 est positif        ->  S = 0

Etape 2 : virgule fixe, puis normalisation
   35,5 = 100011,1         (32 + 2 + 1 = 35, et 0,1 = 0,5)
        = 1,000111 x 2^5   (la virgule recule de 5 rangs)
   l'exposant reel est e = 5

Etape 3 : l'exposant biaise
   Eb = e + 127 = 5 + 127 = 132
   132 = 10000100          sur 8 bits

Etape 4 : la mantisse sur 23 bits
   on retire le 1 implicite : il reste 000111
   on complete par des zeros a droite :
   M = 00011100000000000000000

Resultat :
   0 10000100 00011100000000000000000
   S     Eb              M

soit 42 0E 00 00 en hexadecimal

Décoder un mot

On fait le chemin inverse. Soit le mot :

0 10000001 11100000000000000000000

• S = 0, donc le nombre est positif.
• Eb = 10000001 = 129, donc e = 129 − 127 = 2.
• M = 111 suivi de zéros. En remettant le bit implicite : 1,111.

1,111 × 2² = 111,1 en base deux = 4 + 2 + 1 + 0,5 = 7,5

Un second, négatif cette fois :

1 10000010 01101000000000000000000

S = 1, donc négatif. Eb = 130, donc e = 3. Mantisse réelle : 1,01101. On décale la virgule de trois rangs vers la droite : 1011,01 = 8 + 2 + 1 + 0,25 = 11,25. Le nombre est −11,25.

Les motifs réservés

La norme met de côté deux valeurs d'exposant, celles dont tous les bits sont à 0 ou tous à 1. Elles ne servent pas à des nombres normalisés mais à des cas particuliers.

C'est pour cela que l'exposant réel en simple précision ne va que de −126 à +127, et non de −127 à +128 : les deux extrêmes sont confisqués.

• Zéro existe en deux exemplaires, +0 et −0, puisque le bit de signe est indépendant. La norme impose toutefois que la comparaison +0 == -0 soit vraie.
• Les dénormalisés comblent le trou entre zéro et le plus petit normalisé. Leur mantisse se lit 0,M au lieu de 1,M, et leur exposant est figé à −126. On y perd en précision, mais la perte est graduelle au lieu d'être brutale.
• L'infini est le résultat d'un débordement ou d'une division par zéro. Il se propage dans les calculs : ∞ + 3 = ∞.
• NaN est le résultat d'une opération qui n'a pas de sens : 0/0, √−1, ∞ − ∞. Sa particularité est d'être le seul nombre différent de lui-même : x != x est le test classique pour le détecter.

Les caractéristiques chiffrées

La dernière ligne est celle qu'il faut retenir pour programmer. Vingt-quatre bits de mantisse (23 stockés plus l'implicite) représentent 24×log₁₀(2) ≈ 7,2 chiffres décimaux. Au-delà du septième chiffre significatif, un float ne garantit plus rien.

Un montant en francs CFA au-delà de 10 millions ne tient plus au franc près dans un float. Pour de l'argent, on n'utilise ni float ni double : on compte en unités entières indivisibles.

0 10000010 10011000000000000000000

0 10001001 11111010100000000000000