CHAPITRE 2 : LE BINAIRE SIGNÉ

Le binaire pur ne connaît que les nombres positifs. Pour écrire −24, il faut sacrifier un bit et lui confier le signe. C'est l'idée la plus naturelle qui soit, celle que tout le monde propose spontanément, et c'est aussi celle que les processeurs ont abandonnée. Comprendre pourquoi elle échoue est la meilleure façon de comprendre ce qui la remplace.

La convention

On coupe le mot en deux parties inégales :

• le bit de poids fort porte le signe : 0 pour un nombre positif, 1 pour un nombre négatif ;
• les bits restants codent la valeur absolue du nombre, en binaire pur.

On note cette convention (bs), pour binaire signé. On l'appelle aussi signe et valeur absolue, ou signe et grandeur.

Un bit pour dire de quel côté de zéro on se trouve, les autres pour dire à quelle distance.

Un exemple complet : −24 sur 8 bits

La méthode tient en trois gestes.

1. valeur absolue      |-24| = 24
2. en binaire sur 7 bits    24 = 0011000
3. on pose le bit de signe   1   0011000

resultat : 10011000  (bs)

Et le positif correspondant, +24, s'écrit 00011000. Les sept bits de droite sont rigoureusement identiques : seul le premier change.

Dans l'autre sens, lire 10101101 en binaire signé : le premier bit vaut 1, donc le nombre est négatif ; les sept autres 0101101 valent 32 + 8 + 4 + 1 = 45. Le nombre est −45.

L'étendue de codage

Sur n bits, il ne reste que n − 1 bits pour la grandeur. La plus grande valeur absolue représentable est donc 2ⁿ⁻¹ − 1.

de −(2ⁿ⁻¹ − 1) à +(2ⁿ⁻¹ − 1)

Remarquez la colonne de droite : il y a toujours un motif de plus que de valeurs. Ce motif en trop n'est pas perdu par hasard, nous allons voir où il passe.

Premier défaut : le zéro en double

Appliquons la règle à zéro. Sa valeur absolue est 0, qui s'écrit 0000000. Le signe, lui, peut être l'un ou l'autre :

• 00000000 se lit +0 ;
• 10000000 se lit −0.

Deux motifs, une seule valeur mathématique. Voilà où passe le motif manquant du tableau précédent.

Ce n'est pas qu'une curiosité d'école. Un circuit qui doit tester « ce registre est-il nul ? » ne peut plus se contenter de comparer à 00000000 : il doit prévoir les deux cas. Et un test d'égalité entre deux registres peut répondre « différents » alors que les deux valent zéro. Pour du matériel, c'est une complication permanente et sans contrepartie.

Second défaut, bien pire : l'addition ne marche plus

C'est le point qui condamne définitivement cette convention. Prenons 24 + (−24), dont nous savons que le résultat est 0, et additionnons les motifs bit à bit comme le ferait un additionneur ordinaire.

  00011000   (+24 en bs)
+ 10011000   (-24 en bs)
----------
  10110000   soit -48 en bs

resultat attendu : 0
resultat obtenu  : -48

Le circuit d'addition, celui-là même qui fonctionne parfaitement en binaire pur, donne une réponse fausse. Il a additionné les bits de signe comme s'ils étaient des bits de valeur, et il n'avait aucun moyen de deviner qu'il ne fallait pas.

Pour que cela fonctionne, il faudrait un circuit qui :

• examine les deux bits de signe ;
• s'ils sont identiques, additionne les grandeurs et recopie le signe ;
• s'ils diffèrent, compare les deux grandeurs pour savoir laquelle est la plus grande, soustraie la petite de la grande, et donne au résultat le signe de la plus grande.

Cela fait un comparateur, un soustracteur et une logique de décision en plus de l'additionneur. Beaucoup de transistors, beaucoup de temps de propagation, et tout cela pour une opération qui est de loin la plus fréquente dans une machine.

Un bon codage n'est pas celui qui se lit le plus facilement. C'est celui qui rend les opérations simples pour le circuit.

Alors pourquoi en parler encore ?

Parce que le binaire signé n'a pas disparu : il survit là où on ne calcule pas directement sur le nombre. Le bit de signe de la norme IEEE 754, que nous verrons au chapitre 7, fonctionne exactement sur ce principe : un bit séparé, indépendant de la grandeur. Et la norme IEEE 754 possède bel et bien deux zéros, +0 et −0, pour la même raison qu'ici.

Le binaire signé est donc une mauvaise solution pour les entiers, et une solution parfaitement acceptable pour les flottants, où la mantisse et l'exposant ne se manipulent de toute façon pas comme un entier ordinaire.

  10000101   (-5)
+ 00000011   (+3)
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  10001000   soit -8 en bs