CHAPITRE 1 : POURQUOI TOUT FINIT EN 0 ET EN 1

Un processeur ne sait pas ce qu'est un nombre. Il ne sait qu'une chose : un fil porte du courant, ou il n'en porte pas. Tout le reste, les entiers, les prix en francs CFA, les coordonnées GPS, les couleurs d'une photo, n'est qu'une convention posée au-dessus de cette alternative. Ce premier chapitre pose les fondations : ce qu'est un bit, comment on écrit un entier positif avec des bits, et pourquoi une suite de bits n'a aucune signification tant qu'on n'a pas dit comment la lire.

Le bit, l'octet, le mot

À l'intérieur d'une machine, l'information circule sous forme de tensions électriques. Pour que le circuit soit fiable et bon marché, les concepteurs n'ont retenu que deux états : tension haute et tension basse. On les note 1 et 0. Cette unité minimale d'information s'appelle le bit, contraction de l'anglais binary digit.

Un bit tout seul ne dit pas grand-chose : deux possibilités. On les regroupe donc.

• Un octet (byte en anglais) vaut 8 bits. Il offre 2⁸ = 256 combinaisons différentes.
• Un mot est la quantité de bits que le processeur manipule d'un seul coup. Sur les machines courantes aujourd'hui, c'est 64 bits ; c'était 32 bits il y a vingt ans, 8 bits sur les premiers micro-ordinateurs.

Avec n bits, on dispose de 2ⁿ motifs différents, ni plus, ni moins. Tout le reste du cours consiste à décider quoi faire de ces motifs.

Le binaire pur : coder un entier positif

La façon la plus simple d'utiliser des bits est la même que celle dont nous écrivons les nombres en base dix, mais avec deux chiffres au lieu de dix.

En base dix, le nombre 2 026 veut dire 2×10³ + 0×10² + 2×10¹ + 6×10⁰. Chaque position porte une puissance de dix.

En base deux, c'est pareil avec des puissances de deux. Le motif 00101101 se lit :

0×2⁷ + 0×2⁶ + 1×2⁵ + 0×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 32 + 8 + 4 + 1 = 45

Dans la pratique on ne récite pas toute la formule : on repère les positions qui portent un 1 et on additionne leurs poids. Les poids d'un octet, de gauche à droite, sont 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1. Il suffit de les connaître par cœur.

Dans l'autre sens : du décimal au binaire

Pour écrire 45 en binaire, on divise par 2 autant de fois que nécessaire et on garde les restes, qu'on lit de bas en haut.

45 : 2 = 22  reste 1   ← LSB
22 : 2 = 11  reste 0
11 : 2 =  5  reste 1
 5 : 2 =  2  reste 1
 2 : 2 =  1  reste 0
 1 : 2 =  0  reste 1   ← MSB

on remonte : 101101    soit 00101101 sur un octet

Vérification immédiate : 32 + 8 + 4 + 1 = 45. C'est bien cela.

Il existe une seconde méthode, souvent plus rapide à la main : on retranche les poids du plus grand au plus petit. 45 contient-il 32 ? Oui, il reste 13. Contient-il 16 ? Non. 8 ? Oui, il reste 5. 4 ? Oui, il reste 1. 2 ? Non. 1 ? Oui, il reste 0. On a bien 00101101.

Quelle étendue pour combien de bits ?

En binaire pur, tous les motifs servent à représenter des entiers positifs. Sur n bits, on couvre donc exactement de 0 à 2ⁿ − 1.

Cette table explique beaucoup de bornes que l'on croise sans comprendre d'où elles sortent. Si un formulaire refuse un nombre au-delà de 65 535, ce n'est pas un caprice du programmeur : c'est que la valeur est rangée sur deux octets.

L'hexadécimal : une sténographie du binaire

Écrire 11010011 est pénible et source d'erreurs. Comme 16 = 2⁴, un chiffre hexadécimal remplace exactement quatre bits, sans aucun calcul : il suffit de découper par paquets de quatre en partant de la droite.

Ainsi 1101 0011 devient D3, et un octet tient toujours en deux chiffres hexadécimaux. C'est pour cette raison que les couleurs du web s'écrivent #E2571E et les adresses mémoire 0x7FFD.

Le point le plus important du cours

Reprenons le motif 11010011. Combien vaut-il ?

La question n'a pas de réponse. Elle est mal posée. Ce motif vaut :

• 211 si on le lit en binaire pur ;
• −83 si on le lit en signe et valeur absolue ;
• −44 si on le lit en complément à 1 ;
• −45 si on le lit en complément à 2 ;
• le caractère Ó si on le lit comme du texte Latin-1 ;
• une nuance de rouge sombre si c'est une composante de couleur.

La mémoire ne contient aucune étiquette qui dirait laquelle de ces lectures est la bonne. C'est le type déclaré dans le programme qui tranche. Quand un langage comme le C vous laisse convertir un unsigned char en char, il ne modifie pas un seul bit : il change seulement la convention de lecture. Et la valeur affichée change du tout au tout.

  11010011   (211)
+ 01101110   (110)
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 101000001   (321)