ALGÈBRE DE BOOLE 01 : FONDEMENTS ET PORTES LOGIQUES

Les deux produits correspondent aux seules situations où les bits sont différents : 01 et 10. En développant :

La somme OU autorise 01, 10 et 11. Le deuxième facteur exclut 11.

On utilise l’idempotence $aa=a$, puis deux absorptions : $a+ac=a$ et $a+ab=a$. La table de la section précédente donne pour les deux expressions les sorties 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1 dans l’ordre 000 à 111.

Contrôle pour $(a,b,c)=(0,0,1)$ : $F=1$, donc $\overline F=0$. La forme trouvée donne $1(0+0)=0$. Un exemple est un contrôle rapide ; une preuve générale exige les transformations ci-dessus ou les huit lignes d’une table.

1. Élément neutre de OU. Ajouter 0 ne change pas un bit : $x+0=x$. On l’applique à la parenthèse et au dernier terme.

   $$E=(a+0)\cdot1+0=a\cdot1+0=a\cdot1$$

2. Élément neutre de ET. Multiplier logiquement par 1 conserve la valeur : $x\cdot1=x$.

   $$E=a\cdot1=\boxed a$$

3. Élément absorbant de OU. Dans F, la parenthèse $a+1$ vaut toujours 1, que a soit 0 ou 1.

   $$F=(a+1)(b+0)=1\cdot(b+0)$$

4. Deux éléments neutres. On applique $b+0=b$, puis $1\cdot b=b$.

   $$F=1\cdot b=\boxed b$$

À retenir : pour ET, 0 est absorbant et 1 est neutre ; pour OU, 1 est absorbant et 0 est neutre. Un terme neutre laisse la valeur inchangée ; un terme absorbant impose le résultat.

1. Idempotence de ET et de OU. Un bit multiplié par lui-même reste le même bit. Un terme répété dans une somme logique peut être écrit une seule fois.

   $$E=aa+(ab+ab)=a+ab$$

2. Élément neutre, puis distributivité en sens inverse. On écrit $a=a\cdot1$, puis on factorise a. Cette ligne explique le mécanisme de l’absorption.

   $$E=a\cdot1+ab=a(1+b)$$

3. Élément absorbant, puis élément neutre. Comme $1+b=1$, le facteur b ne peut plus modifier le résultat.

   $$E=a\cdot1=\boxed a$$

4. Idempotence dans les parenthèses. Pour F, chacune des sommes répétées se réduit à une variable.

   $$F=(a+a)(b+b)b=abb$$

5. Associativité, puis idempotence de ET. On regroupe les deux b ; $bb=b$.

   $$F=a(bb)=\boxed{ab}$$

Erreur à éviter : $a+a$ ne donne pas 2a, et $aa$ n’introduit aucune nouvelle valeur. On calcule avec OU et ET, pas avec l’addition et la multiplication des nombres réels.

1. Commutativité de ET. Permuter les facteurs ne change pas le produit. Chaque terme contient les mêmes bits, simplement écrits dans un ordre différent.

   $$E=abc+abc+ab\overline c$$

2. Idempotence de OU. Les deux premiers termes sont maintenant identiques ; on garde une seule copie.

   $$E=abc+ab\overline c$$

3. Associativité, puis distributivité. On considère ab comme un facteur commun. Le regroupement $(ab)c$ est permis par l’associativité de ET.

   $$E=(ab)c+(ab)\overline c=ab(c+\overline c)$$

4. Complémentarité, puis élément neutre. Une variable ou son complément vaut toujours 1.

   $$E=ab\cdot1=\boxed{ab}$$

Commutativité et associativité ne suppriment pas, à elles seules, de littéral : elles réorganisent l’expression pour faire apparaître une répétition ou un facteur commun. Ici, elles rendent visibles les règles suivantes.

1. Distributivité de ET sur OU. Le facteur a multiplie chacun des termes de la somme : $a(b+c)=ab+ac$.

   $$E=ab+ac+a\overline b$$

2. Commutativité de OU. On rapproche les termes ab et $a\overline b$, qui ne diffèrent que par b.

   $$E=ab+a\overline b+ac$$

3. Distributivité en sens inverse. Factoriser est l’opération inverse du développement.

   $$E=a(b+\overline b)+ac$$

4. Complémentarité, puis élément neutre. La somme entre parenthèses vaut 1.

   $$E=a+ac$$

5. Absorption, explicitée par une factorisation. Le terme ac est déjà couvert par a. On peut le démontrer sans raccourci.

   $$E=a\cdot1+ac=a(1+c)=a\cdot1=\boxed a$$

Chemin plus court : on pouvait factoriser a dès le départ.

La deuxième égalité utilise la commutativité et l’associativité de OU. Les deux méthodes sont correctes ; repérer le facteur commun évite souvent un développement long.

1. Développement par distributivité de ET. Chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second : quatre produits apparaissent.

   $$(a+b)(a+c)=aa+ac+ab+bc$$

2. Idempotence, puis absorptions. On remplace aa par a, puis $a+ac$ et $a+ab$ par a.

   $$aa+ac+ab+bc=a+ac+ab+bc=a+bc$$

3. Distributivité de OU sur ET en sens inverse. On applique maintenant l’identité démontrée, en remplaçant c par le complément de b.

   $$E=(a+b)(a+\overline b)=a+b\overline b$$

4. Complémentarité de ET, puis élément neutre de OU. Un bit et son complément ne peuvent pas être simultanément à 1.

   $$E=a+0=\boxed a$$

Pourquoi cette règle est particulière : $a+bc=(a+b)(a+c)$ est valable pour les opérations booléennes. Il ne faut pas la transférer à l’addition et à la multiplication ordinaires.

1. Élément neutre de ET, puis factorisation. Pour E, on transforme le terme isolé a en un produit qui possède le même facteur que ab.

   $$E=a\cdot1+ab=a(1+b)$$

2. Élément absorbant de OU, puis élément neutre de ET. La parenthèse vaut 1 ; on obtient la première loi d’absorption.

   $$E=a\cdot1=\boxed a$$

3. Distributivité, idempotence, puis absorption déjà démontrée. Pour F, développer permet de retrouver exactement la forme de E.

   $$F=aa+ab=a+ab=\boxed a$$

4. Distributivité de OU sur ET. Dans G, le deuxième produit contient le complément de a. Il faut appliquer la règle à cette expression précise.

   $$G=(a+\overline a)(a+b)$$

5. Complémentarité de OU, puis élément neutre de ET. Le premier facteur vaut 1.

   $$G=1\cdot(a+b)=\boxed{a+b}$$

Lecture par cas : pour E, si a = 0, ab = 0 et E = 0 ; si a = 1, E vaut déjà 1. Pour F, a = 0 annule tout le produit et a = 1 donne $1(1+b)=1$. Pour G, si a = 0, on obtient b ; si a = 1, on obtient 1. C’est bien le comportement de $a+b$.

1. De Morgan : complément d’une somme. La grande barre de E porte sur toute la somme. OU devient ET, et chacun des deux arguments est complémenté.

   $$E=\overline{\overline a}\cdot\overline{\overline b}$$

2. Involution ou double négation. Le complément du complément redonne la variable initiale.

   $$E=a\cdot b=\boxed{ab}$$

3. De Morgan : complément d’un produit. La grande barre de F porte sur tout le produit. ET devient OU ; on ne conserve pas le produit.

   $$F=\overline{\overline a}+\overline{\overline b}$$

4. Involution sur les deux variables. Les deux doubles négations disparaissent.

   $$F=\boxed{a+b}$$

Contrôle : pour a = 1 et b = 0, E vaut 0 tandis que F vaut 1. Les deux grandes barres n’entourent pas la même opération : il est normal que les résultats soient différents.

Rappel : retirer une barre extérieure sans changer l’opérateur est une erreur. Il faut appliquer De Morgan, puis traiter les éventuelles doubles négations.

1. De Morgan sur la somme extérieure de G. Les deux arguments sont a et le bloc $\overline{bc}$. Le complément du deuxième argument est donc un double complément.

   $$G=\overline a\cdot\overline{\overline{bc}}$$

2. Double négation sur le bloc entier. On retrouve bc, et non $\overline b\,\overline c$. Puis l’associativité autorise l’écriture sans parenthèses.

   $$G=\overline a\,(bc)=\boxed{\overline a bc}$$

3. De Morgan sur le produit extérieur de H. Les facteurs sont la parenthèse et c. ET devient OU.

   $$H=\overline{a+\overline b}+\overline c$$

4. De Morgan sur la somme restante. Le complément de la parenthèse devient le produit des compléments de ses deux termes.

   $$H=\overline a\cdot\overline{\overline b}+\overline c$$

5. Double négation sur b. Seul b porte encore deux négations ; on les supprime.

   $$H=\boxed{\overline a b+\overline c}$$

Ce qui change entre les deux calculs : dans G, la double négation couvre le bloc bc ; dans H, elle ne couvre que b. Toujours identifier les arguments de l’opérateur principal avant de descendre au niveau suivant.

1. Distributivité en sens inverse. Les deux produits de E ont a en commun ; ceux de F ont son complément en commun.

   $$E=a(b+\overline b),\qquad F=\overline a(b+\overline b)$$

2. Complémentarité de OU. Les deux cas b = 0 et b = 1 couvrent toutes les possibilités. Leur somme logique vaut 1.

   $$E=a\cdot1,\qquad F=\overline a\cdot1$$

3. Élément neutre de ET. Le facteur 1 disparaît sans changer la valeur des sorties.

   $$E=\boxed a,\qquad F=\boxed{\overline a}$$

Vérifier l’indépendance : avec b = 0, E = a et F vaut le complément de a ; avec b = 1, on obtient exactement les mêmes résultats. Pour une valeur de a fixée, changer b ne change aucune sortie.

Ne pas confondre : l’idempotence réduit deux copies du même terme, comme $a+a$. Ici les produits ab et $a\overline b$ sont différents : c’est la factorisation, suivie de la complémentarité, qui élimine b.

1. Complémentarité et élément neutre. Pour décomposer bc selon les deux valeurs de a, on le multiplie par $1=a+\overline a$.

   $$S=ab+\overline a c+bc(a+\overline a)$$

2. Distributivité de ET sur OU. Le produit ajouté se décompose en deux produits à trois littéraux.

   $$S=ab+\overline a c+abc+\overline a bc$$

3. Commutativité et associativité. On rapproche chaque terme à trois littéraux du produit qui le couvre.

   $$S=(ab+abc)+(\overline a c+\overline a bc)$$

4. Distributivité en sens inverse. On factorise ab dans la première parenthèse et $\overline a c$ dans la seconde.

   $$S=ab(1+c)+\overline a c(1+b)$$

5. Éléments absorbants, puis éléments neutres. Les deux parenthèses valent 1. On retrouve les deux premiers produits sans bc.

   $$S=ab\cdot1+\overline a c\cdot1=\boxed{ab+\overline a c}$$

Interprétation : si bc = 1, alors b = c = 1. Si a = 1, ab vaut déjà 1 ; si a = 0, $\overline a c$ vaut déjà 1. Le terme bc n’ajoute donc aucune combinaison favorable.

Rappel de méthode : ne supprimer aucun produit parce qu’il « semble inutile ». La décomposition et les absorptions ci-dessus démontrent qu’il est entièrement couvert par les deux autres.

Le circuit réalise une porte ET. Sa table, pour 00, 01, 10, 11, donne 0, 0, 0, 1. Deux inverseurs à l’entrée d’un OU et un inverseur à sa sortie sont donc équivalents à ET.

1. Repérer le facteur commun. Les deux premiers produits possèdent le facteur $\overline b$.

2. Utiliser la complémentarité. Une variable ou son complément vaut toujours 1 :

3. Interpréter. La sortie est toujours active, quelles que soient les valeurs de a et b. Si b = 1, le dernier terme suffit ; si b = 0, les deux premiers termes couvrent les deux valeurs possibles de a. Il ne reste aucune dépendance aux entrées.

Piège à éviter : $\overline a+a$ vaut 1, et non 0. C’est le produit $a\overline a$ qui vaut 0.

Le terme abc ne vaut 1 que si ab vaut déjà 1. Il ne peut donc pas ajouter un nouveau cas favorable à la somme.

Lecture logique : si a = 0, tous les produits sont nuls. Si a = 1, b ou son complément garantit une sortie à 1. Le résultat ne dépend donc ni de b ni de c.

Rappel : la suppression de abc est une absorption, $x+xy=x$, avec $x=ab$ et $y=c$.

1. Factoriser le littéral présent dans tous les termes.

2. Absorber le produit déjà couvert par $\overline a$. On a $\overline a+\overline a\,\overline c=\overline a$.

3. Réunir les deux possibilités de c.

Si b = 1, tous les produits initiaux sont nuls ; si b = 0, la parenthèse vaut 1. L’expression entière réalise donc un inverseur sur b. Les entrées a et c peuvent varier sans changer C.

1. Réordonner les facteurs. Le produit est commutatif ; $\overline c+a=a+\overline c$.

2. Employer la distributivité booléenne. Avec $(x+y)(x+z)=x+yz$, les deux premiers facteurs donnent :

3. Développer les quatre produits restants.

Les deux derniers termes sont nuls : $b\overline b=0$ et $\overline c c=0$. Ainsi :

Interprétation : a doit être à 1 ; il faut aussi que b soit à 0 ou que c soit à 1. Par exemple, 100 est accepté, mais 110 ne l’est pas.

Première identité : on distribue OU sur ET.

Deuxième identité : on distribue ET sur OU.

Les colonnes de chaque paire coïncident sur les quatre combinaisons : la vérification est exhaustive.

Attention : $a+ab=a$ et $a+\overline a b=a+b$ sont deux identités différentes. La barre sur a change le résultat.

1. U est une somme. La négation extérieure transforme OU en ET, puis la négation du produit transforme ET en OU :

2. V est un produit. On complémente chaque facteur et on les relie par OU :

Dans le deuxième facteur, le complément de $\overline a$ est a : la double négation disparaît.

3. W possède déjà une négation interne. Il faut complémenter toute la somme, sans effacer prématurément cette barre :

Contrôle sur 000 : U = 0, V = 0 et W = 1 ; leurs compléments doivent donc donner respectivement 1, 1 et 0. Les trois formules trouvées donnent bien ces valeurs. Ce contrôle rapide complète les transformations générales ; il ne remplace pas une table exhaustive.

1. Réunir les produits partageant a et c.

2. Factoriser c, puis utiliser l’absorption avec complément.

Les sorties valent 1 pour 011, 101 et 111. H et F exigent c = 1 et au moins une entrée à 1 parmi a et b.

La variable c reste nécessaire : pour a = 1 et b = 0, passer de c = 0 à c = 1 fait passer la sortie de 0 à 1. La simplification supprime des produits redondants, pas toute dépendance aux entrées.

Réalisation : une porte OU reçoit a et b ; sa sortie entre dans une porte ET avec c. Il n’est plus nécessaire de réaliser séparément les trois produits initiaux.

1. Traduire chaque condition. « Un graveur sans scanner » donne $a\overline c$. « Ni graveur ni imprimante » impose deux absences simultanées, donc $\overline a\,\overline b$. Le mot « ou » relie les deux situations :

2. Complémenter le refus. Une configuration est acceptée exactement lorsqu’elle n’est pas refusée :

3. Éliminer le terme bc. Décomposer ce terme selon les deux valeurs de a :

Le terme abc est absorbé par ac ; le terme $\overline a bc$ est absorbé par $\overline a b$.

Interprétation : $\overline a b$ signifie « pas de graveur et une imprimante », quel que soit le scanner. Le terme ac signifie « un graveur et un scanner », quelle que soit l’imprimante. À chaque ligne, E et F sont opposées.

Piège : « ni a ni b » s’écrit $\overline a\,\overline b=\overline{a+b}$, et non $\overline a+\overline b$.

1. Factoriser ce qui ne change pas entre les deux produits.

E désigne les clients qui achètent sans effectuer de retour ni d’échange. Qu’ils demandent ou non des renseignements ne change pas leur appartenance à cette catégorie : p disparaît.

2. Complémenter le produit entier.

Le complément correspond aux clients qui n’achètent pas, ou qui effectuent un retour ou un échange. Ce OU est inclusif : un client peut satisfaire les deux conditions.

Le tableau ne possède que quatre lignes car p n’intervient plus. Si on réintroduit p, chacune de ces lignes se dédouble en p = 0 et p = 1 avec la même sortie.